Producto de lados y diagonales

Si en la figura siguiente el radio de las circunferencias circunscritas es 1, por una entrada anterior la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos rojos es, respectivamente, 6, 8, 10, y 12.

En cambio, el producto de las longitudes de esos segmentos es 3, 4, 5 y 6.

Y, en general, dado un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio igual a 1, el producto de las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en un vértice es igual a n.

Porque situando el polígono en el plano complejo con centro en 0 y un vértice en 1, los vértices del polígono son las raíces de , y por tanto .
Pero es una identidad algebraica que , y por tanto tenemos , donde los recorren las raíces distintas de 1, y tomando z=1, .

Los módulos de los complejos son las longitudes de los segmentos entre 1 y , es decir las longitudes de las diagonales y los lados que concurren en 1, y el producto de los módulos es el módulo del producto, que es igual al módulo de n, igual a n.

Si el radio de la circunferencia circunscrita es R, nuestro producto será igual a .